यदि दर्शाई गई वृत्ताकार प्लेट और वर्गाकार प्ल | vedclass

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Question

(A) माना कि पृष्ठीय द्रव्यमान घनत्व $\sigma$ है। वृत्ताकार प्लेट का व्यास $\ell$ है,इसलिए इसकी त्रिज्या $R = \ell/2$ है। वृत्ताकार प्लेट का क्षेत्रफल

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वर्गाकार प्लेट के अंदर

Vedclass · Answer

(A) माना कि पृष्ठीय द्रव्यमान घनत्व $\sigma$ है। वृत्ताकार प्लेट का व्यास $\ell$ है,इसलिए इसकी त्रिज्या $R = \ell/2$ है। वृत्ताकार प्लेट का क्षेत्रफल $A_1 = \pi R^2 = \pi(\ell/2)^2 = \pi \ell^2/4$ है। वृत्ताकार प्लेट का द्रव्यमान $m_1 = \sigma A_1 = \sigma(\pi \ell^2/4)$ है।वर्गाकार प्लेट की भुजा की लंबाई $\ell$ है,इसलिए इसका क्षेत्रफल $A_2 = \ell^2$ है। वर्गाकार प्लेट का द्रव्यमान $m_2 = \sigma A_2 = \sigma \ell^2$ है।माना कि वृत्ताकार प्लेट का केंद्र मूल बिंदु $(0,0)$ पर है। वृत्ताकार प्लेट का द्रव्यमान केंद्र $x_1 = 0$ पर है। वर्गाकार प्लेट का केंद्र मूल बिंदु से $R + \ell/2 = \ell/2 + \ell/2 = \ell$ की दूरी पर है। अतः,$x_2 = \ell$.संयुक्त निकाय के द्रव्यमान केंद्र का $x$-निर्देशांक इस प्रकार है:$x_{cm} = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2}{m_1 + m_2} = \frac{\sigma(\pi \ell^2/4)(0) + \sigma \ell^2(\ell)}{\sigma(\pi \ell^2/4) + \sigma \ell^2} = \frac{\ell^3}{\ell^2(\pi/4 + 1)} = \frac{\ell}{\pi/4 + 1} = \frac{4\ell}{\pi + 4}$.चूंकि $\pi \approx 3.14$,$\pi + 4 \approx 7.14$ है। अतः,$x_{cm} = \frac{4\ell}{7.14} \approx 0.56\ell$.वर्गाकार प्लेट $x = \ell/2 = 0.5\ell$ से $x = 3\ell/2 = 1.5\ell$ तक फैली हुई है। चूंकि $0.5\ell < 0.56\ell < 1.5\ell$,इसलिए द्रव्यमान केंद्र वर्गाकार प्लेट के अंदर स्थित है।

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